【三角比の基本】公式の使い方と導出方法を徹底解説！

θという謎の記号や、いくつもの公式が出てくる三角比は、多くの生徒が苦手としている単元の1つです。しかし、基本的な公式や代表的な数値を覚えてしまえば、試験でも高得点が期待できます。
この記事では、三角比の公式や使い方を練習問題とともに解説します。

＜この記事で紹介していること＞
・三角比の基本
・よく使う3つの公式
・90°より大きい三角比

三角比とは？

三角比とは「直角三角形の2辺の比を角度を使って表記したもの」です。
厳密に言うと、図のように「∠C=90°, ∠B=θ（シータ）」とおいたときの辺の比を表したもので、以下のように表記されます。

直角三角形には角が3つあるため、どの角にθを置くか迷う方がいるかも知れませんが、一般的には左下に置くのが慣例と言われています。三角比の覚え方として筆記体を用いた方法があります。
下図のように「sin, cos, tan」の頭文字である「s, c, t」の書き順をたどって「分母→分子」とみると、シンプルに覚えられるでしょう。

よく用いられる三角比

高校数学で用いられる三角比は、三角定規に使われている30°・45°・60°です。スムーズに計算を解くには、これらの三角比を覚える必要があります。θ=30°の三角比は以下のとおりです。

θ=45°の三角比は以下のとおりです。

θ=60°の三角比は以下のとおりです。

三角比の公式

高校数学の三角比には、よく使う基本的な3つの公式があります。公式の暗記が苦手な方がいるかもしれませんが、一度暗記してしまえば素早く計算できるため、覚えるようにしましょう。
とはいえ、三平方の定理と三角比を用いれば公式の導出は可能です。公式を忘れてしまった場合に備えて、公式の導出方法も知っておくと良いでしょう。

公式①「sin, cos」の関係

「sinθの2乗とcosθの2乗の和は必ず1になる」という公式です。例えば図のように角が30°・60°・90°の直角三角形で、60°の角をθにしたときに本当に和が1になるか確認してみましょう。

公式の導出方法は以下のとおりです。

公式②「sin, cos, tan」の関係

「sinθとcosθが分かればtanθが分かる」という公式です。
式変形をすれば、sinθ・cosθ・tanθのうち2つが分かれば、残りの1つを求められます。θが60°の直角三角形で確かめてみましょう。

公式の導出方法は以下のとおりです。

公式③「cos, tan」の関係

「tanθの2乗とcosθの2乗」を表した公式です。θが60°の直角三角形で確かめてみましょう。

公式の導出方法は以下のとおりです。

90°より大きい三角比

直角三角形の1つの角をθとすると、三角形の内角の和が180°のため、θで定義できる範囲は0°<θ<90°に限定されてしまいます。しかし、三角比を「座標」として捉えれば、θを90°以上にすることが可能なのです。

θ=120°を例に考えてみましょう。
θ=120°を「単位円（半径が1の円）」の内側に作ると図のようになります。図のようになるのは「そういうものだ」と理解しても構いません。
三角形と円周の交点の座標を求めるには、sin120°とcos120°の値を使えばよいことに気づくでしょう。例から分かるとおり、sinθは「三角形と円周の交点のy座標」、cosθは「三角形と円周の交点のx座標」を表しているのです。
0°≦θ≦180°の場合におけるsinθ・cosθ・tanθの代表的な値を表にまとめると、以下のようになります。θが90°を超えても、上記で紹介した3つの公式は成立します。

また、θの範囲によってsinθ・cosθ・tanθの値は正負が下図のように決まっています。計算結果に±が出てきた際には、適切な符号を選ばなくてはなりません。

表記上の注意

三角比を学び始めた方がしてしまいがちなミスとして「θの書き忘れ」や「指数（2乗など）の位置が違う」などがあげられます。間違えて覚えると、試験で大幅減点されてしまう可能性があるため、注意するようにしましょう。

練習問題

記事で学んだ公式を用いて、計算問題を解いてみましょう。
解く際は、記事で紹介した表を用いても構いません。

練習問題1
θ=30°のとき、公式①を変形して「sinθ=〜」の形を作ってから、sin30°の値を求めてみましょう。

練習問題2
sinθ+cosθ=1/2のとき、sinθcosθの値を求めてみましょう。

解答1

解答2

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まとめ｜公式の使い方と導出方法をマスターしよう！

三角比にはさまざまな公式が出てくるため、苦手意識を持つ方が多くいます。しかし、記事で紹介した代表的な三角比や、3つの公式を覚えてしまえば基本問題を素早く解けるのです。
公式を忘れてしまっても、導出方法を知っていれば試験で失点を減らせるため、繰り返し練習を重ねて定着させるようにしましょう。
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