【剰余の定理の基本】使い方を徹底解説！応用問題も紹介

剰余の定理と聞くと「なんだか難しそう」と感じる方がいるでしょう。P(x)やRなどの文字が多く出てくるため、抵抗を感じるのも無理はありません。
しかし、剰余の定理は「当たり前のことを難しそうに言っている」だけの定理です。計算自体も難しくないため、使い方さえ覚えてしまえば試験で高得点が期待できるでしょう。
本記事では、剰余の定理がよくわからない人に向けて、基本と使い方を解説します。

＜この記事で紹介していること＞
・剰余の定理の使い方
・因数定理との違い

剰余の定理とは？

剰余の定理とは、多項式を1次式で割った際の「余り」を求めるのに活用できる定理です。
厳密に言うと「整式 P(x) を1次式 (x−a) で割ったときの余りはP(a)」が剰余の定理が示している内容です。
具体的な式に当てはめて考えてみましょう。

また、1次式が(ax+b)の形、つまりx の係数が1ではない場合の余りも剰余の定理で素早く計算可能です。
「整式 P(x) を1次式 (ax−b) で割ったときの余りはP(-b/a)」です。
具体的な式に当てはめて考えてみましょう。

剰余の定理はマイナスのつけ忘れで計算ミスするケースが多いため、慎重に問題を解くように気をつけましょう。

剰余の定理の証明

「剰余の定理を用いれば余りを簡単に求められる」と突然言われても、納得できない方もいるでしょう。剰余の定理が成り立つことを以下で証明します。
整式を「P(x)」、割る式（1次式）を「ax+b」、商を「Q(x)」、余りを「R(x)」とすると、以下の式が成り立ちます。

ここでx=-b/aとすると、

となります。
よって、余りはP(-b/a)で求められるのです。
割る式（1次式）が「x-a」の場合はどうでしょうか。「ax+b」を「a=1, b=-a」とすれば「x-a」についても証明を得ることができます。
整式P(x)を「ax+b」で割った際の余りがP(-b/a)のため「a=1, b=-a」を代入すると、P(a)となります。つまり、以下の式のように整式 P(x) を1次式 (x−a) で割ったときの余りはP(a)になるのです。

因数定理との関係

剰余の定理と似ている定理に「因数定理」があります。剰余の定理と因数定理の式を見比べてみましょう。

2つの定理の違いは、余りP(a)が0になるかどうかです。
剰余の定理は余りP(a)が0であっても、0でなくても利用可能です。しかし、因数定理は余りP(a)が0の場合にのみ成り立ちます。
問題を解く際にどちらの定理を用いれば分からなくなった場合は、余りP(a)が0になるかどうかを確認するようにしましょう。

剰余の定理の練習問題

練習問題を解いて、より理解を深めましょう。

数学を効率よく勉強するなら『個別指導塾スタンダード』がおすすめ

中学数学と高校数学の大きな違いは「公式の意味を理解していなくても解けるかどうか」です。
高校数学では、公式を変形したり、組み合わせたりしながら応用問題を解く必要があります。そのため、試験に向けて公式を丸暗記したとしても、少しずつ数学が分からなくなってしまいます。
数学に苦手意識を感じているのであれば、塾に通いながらの学習がおすすめです。分からない部分をすぐに質問できるため、努力した分の実力がつきます。
『個別指導塾スタンダード』では、オーダーメイドのカリキュラムと呼ばれる自由度の高い学習環境を提供しています。生徒のみなさん一人ひとりに合わせた指導をおこなっているため、自分のペースで学習を進められるでしょう。
無料体験授業も実施しているため、ぜひご連絡ください。

近くの教室をチェックしてみる

まとめ｜ポイントを押さえて剰余の定理をマスターしよう！

剰余の定理は多項式を1次式で割ったときに出る余りを素早く求められる定理です。因数定理と似ていますが、余りP(a)が0になるかどうかで異なるため、混同しないように注意が必要です。
また、マイナスのつけ忘れでミスをしやすいため、慎重に計算するようにしましょう。下記のリンクから近くの教室をチェックできます。無料体験授業を実施しているため、気軽にお試しください。

近くの教室をチェックしてみる