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【剰余の定理の基本】使い方を徹底解説！応用問題も紹介
剰余の定理と聞くと「なんだか難しそう」と感じる方がいるでしょう。P(x)やRなどの文字が多く出てくるため、抵抗を感じるのも無理はありません。
しかし、剰余の定理は「当たり前のことを難しそうに言っている」だけの定理です。計算自体も難しくないため、使い方さえ覚えてしまえば試験で高得点が期待できるでしょう。
本記事では、剰余の定理がよくわからない人に向けて、基本と使い方を解説します。
＜この記事で紹介していること＞
・剰余の定理の使い方
・因数定理との違い
剰余の定理とは？
剰余の定理とは、多項式を1次式で割った際の「余り」を求めるのに活用できる定理です。
厳密に言うと「整式 P(x) を1次式 (x−a) で割ったときの余りはP(a)」が剰余の定理が示している内容です。
具体的な式に当てはめて考えてみましょう。
また、1次式が(ax+b)の形、つまりx の係数が1ではない場合の余りも剰余の定理で素早く計算可能です。
「整式 P(x) を1次式 (ax−b) で割ったときの余りはP(-b/a)」です。
具体的な式に当てはめて考えてみましょう。
剰余の定理はマイナスのつけ忘れで計算ミスするケースが多いため、慎重に問題を解くように気をつけましょう。
剰余の定理の証明
「剰余の定理を用いれば余りを簡単に求められる」と突然言われても、納得できない方もいるでしょう。剰余の定理が成り立つことを以下で証明します。
整式を「P(x)」、割る式（1次式）を「ax+b」、商を「Q(x)」、余りを「R(x)」とすると、以下の式が成り立ちます。
ここでx=-b/aとすると、
となります。
よって、余りはP(-b/a)で求められるのです。
割る式（1次式）が「x-a」の場合はどうでしょうか。「ax+b」を「a=1, b=-a」とすれば「x-a」についても証明を得ることができます。
整式P(x)を「ax+b」で割った際の余りがP(-b/a)のため「a=1, b=-a」を代入すると、P(a)となります。つまり、以下の式のように整式 P(x) を1次式 (x−a) で割ったときの余りはP(a)になるのです。
因数定理との関係
剰余の定理と似ている定理に「因数定理」があります。剰余の定理と因数定理の式を見比べてみましょう。
2つの定理の違いは、余りP(a)が0になるかどうかです。
剰余の定理は余りP(a)が0であっても、0でなくても利用可能です。しかし、因数定理は余りP(a)が0の場合にのみ成り立ちます。
問題を解く際にどちらの定理を用いれば分からなくなった場合は、余りP(a)が0になるかどうかを確認するようにしましょう。
剰余の定理の練習問題
練習問題を解いて、より理解を深めましょう。
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まとめ｜ポイントを押さえて剰余の定理をマスターしよう！
剰余の定理は多項式を1次式で割ったときに出る余りを素早く求められる定理です。因数定理と似ていますが、余りP(a)が0になるかどうかで異なるため、混同しないように注意が必要です。
また、マイナスのつけ忘れでミスをしやすいため、慎重に計算するようにしましょう。下記のリンクから近くの教室をチェックできます。無料体験授業を実施しているため、気軽にお試しください。
