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【二次関数の基本】グラフの書き方を徹底解説！おすすめの勉強方法も紹介
「二次関数のグラフってどうやって書くんだっけ？」
このように悩んでいませんか？二次関数は中学校でも習いますが、より発展した内容を高校でも勉強します。しかし、少し内容が難しくて理解できない方も多いのではないでしょうか？
そこで今回は、二次関数の基本やグラフの書き方、平方完成の解き方などを紹介します。授業の後れを取り戻したい方は、ぜひ参考にしてみてください。
＜この記事で紹介していること＞
・二次関数の基本
・二次関数のグラフの書き方
・平方根を使った解き方
そもそも関数とは？
二次関数について触れる前に、中学校で習う数学を復習しましょう。そもそも、“関数”とは何か説明できますか？関数とは「xの値が決まれば、yの値が決定する関係のこと」を指します。もう少し簡単に説明すると、関数は「入力された数字をもとに計算して答えを出す機械」といえます。ひとつ例を挙げましょう。
「y=3x+2」という式の場合、xの値が決まれば以下のようになります。
このように、xの値が決まれば、yの値が決定する関係になることが“関数”なのです。
関数とグラフの関係
前項で、関数はxの値によってyが決まることを解説しました。しかし、xの値によってyがどのように変化するのかを理解するには式だけでは難しいでしょう。
そのため、xとyの変化具合を理解するために、よくグラフを活用します。グラフ作成の問題もよく出題されるため、作り方も知っておきましょう。今回は「y=3x+2」と「y=x²」を例にグラフの作成方法を解説します。
〇「y=3x+2」
まずは、関数から導き出せるxとyの関係を表にしましょう。
xとyの数字を1つのペアにして、グラフに示します。それぞれの点を繋げると以下のような直線のグラフが完成します。
〇「y=x²」
同じようにxとyの関係を表にしましょう。
xとyの数字を1つのペアにして、グラフに示します。それぞれの点を繋げると以下のような放物線のグラフが完成します。
グラフの形
「y=3x+2」と「y=x²」のグラフを作りましたが、形が違うことに気づいたでしょう。関数の種類によって、グラフの形が変わるのです。
上記の2つ以外にも関数には多くの種類があります。それぞれ式の特徴が違うため、グラフのおおよその形も変わってきます。
二次関数とは？
多くの種類の関数がありますが、今回は二次関数に焦点を当てて解説します。二次関数とはxとyの関係を「y=x²」のような形で表す関数です。中学校で習う二次関数は「y=x²」ですが、高校ではさらに進展した内容を学びます。「y=a(x-b)²+c」という式が基本となるため、覚えておきましょう。
ちなみに、aの値は0以外でなければいけません。aを0に代入すると「y=c」となります。グラフに「y=c」を示せば、x軸に平行な直線を描くため二次関数ではなくなります。そのため「y=a(x-b)²+c」のaの値には、必ず0以外の値が入るのです。
二次関数のグラフの書き方
二次関数のグラフの書き方を解説します。中学校で習った「y=x²」ならxに数字を代入すればグラフが作れますが、高校で習う「y=a(x-b)²+c」では少し異なります。
「y=a(x-b)²+c」の式からグラフを書く際は「a,b,c」に注目しなくてはなりません。aに入る値が+なら、グラフは下に凸の形に、反対に-の場合なら上に凸の形になるのです。bとcは、グラフの頂点の座標を表しています。bがx座標を、cがy座標を表しているのです。
ここまでの内容をまとめると以下のようになります。
では、解説したグラフの書き方を押さえて、練習問題を解いてみましょう。
練習問題
実際に問題を解いて、グラフの作り方をマスターしましょう。問題の解説も紹介しているため、分からなかったときは、解き方をじっくり見てみてください。
〇問題1
「y=2(x-2)²-4」をグラフに表しなさい。
〇問題1の解説
「y=2(x-2)²-4」からグラフ作成に必要な情報を洗い出しましょう。
aに該当するのは「2」です。aの値が+のため、下に凸のグラフであることがわかります。続いて頂点の座標も求めましょう。bに該当するのは「2」cに該当するのは「-4」のため、x座標は2、y座標が-4ということがわかります。
以上から、x座標2、y座標-4を頂点とした下に凸のグラフという情報が読み取れました。この問題のグラフは以下のとおりです。
〇問題2
「y=-2(x+1)²+2」をグラフに表しなさい。
〇問題1の解説
「y=-2(x+1)²+2」からグラフ作成に必要な情報を洗い出しましょう。
aに該当するのは「-2」です。aの値が-のため、上に凸のグラフであることがわかります。同じようにグラフの頂点の座標も求めてみましょう。bに該当するのは「-1」cに該当するのは「2」のため、x座標は-1、y座標が2ということがわかります。
以上から、x座標-1、y座標2を頂点とした上に凸のグラフという情報が読み取れました。この問題のグラフは以下のとおりです。/p>
これらの問題の解き方を理解できましたか？難しい場合は、繰り返し解いて慣れていきましょう。
二次関数は平方完成を使うケースもある
二次関数の基本の形は「y=a(x-b)²+c」のため、a,b,cの値を読み取ればグラフが書けます。しかし、基本の形で出題されないケースもあります。「y=ax²+bx+c」と出題されても、グラフの頂点の位置や形がわかりません。そのときに使うのが“平方完成”です。
平方完成とは？
平方完成とは、二次関数を基本の形に変形する手法のことです。つまり、平方完成を使えば「y=ax²+bx+c」と出題されても「y=a(x-b)²+c」へ変えられるのです。平方完成は以下の手順で行います。
1.「x」を含む項を「x²」の係数でくくる
2.「x」の係数の半分の2乗を足し引きする
3.カッコを外す
実際に「y=2x²+12x−7」を例に解説します。
1.x²の係数である2で「(x²+6x)」をくくります。
y=2(x²+6x)−7
2.xの係数である6の半分の2乗を足し引きします。
y=2{(x+3)²-3²}-7
3.カッコを外し「y=a(x-b)²+c」の形に整えます。
y=2(x+3)²-25
よって「y=2(x+3)²-25」と変形できます。1回だけではわからない方も多いでしょう。そのため、解説を見ながら繰り返し解いてみてください。
練習問題
平方完成の練習問題を出すため、ぜひ前項で解説した解き方を参考にしながら挑戦してみてください。
〇問題
「y=2x²+4x+3」を平方完成せよ。
〇解説
1.x²の係数である2で「(x²+2x)」をくくります。
y=2(x²+2x)+3
2.xの係数である2の半分の2乗を足し引きします。
y=2{(x+1)²-1²}+3
3.カッコを外し「y=a(x-b)²+c」の形に整えます。<>/p
y=2(x+1)²+1
解けたでしょうか？平方完成の問題は難しく感じるかもしれませんが、身体が覚えるまで何度も繰り返し解けば理解が深まります。
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まとめ｜問題をたくさん解いて二次関数をマスターしよう！
二次関数のグラフの書き方と、平方完成の方法を紹介しました。どちらも決して簡単ではないため、最初は難しく感じるかもしれません。しかし、繰り返し問題を解けば少しずつ理解が深まるため、諦めずにチャレンジしてみてください！
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