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扇形の面積の求め方！ラジアンや例題についても紹介
中学校数学を勉強していると「扇形の面積」が難しいと感じる場合があるでしょう。「度数と弧度（ラジアン）の違いがわからない」と頭を抱える生徒さんは多くいらっしゃいます。
扇形の面積や弧の長さを求めるには、問題に合った公式を使わなければなりません。この記事では、例題を紹介しながら、扇形の問題について解説します。
＜この記事で紹介していること＞
・扇形の弧の長さの求め方
・扇形の面積の求め方
・ラジアンとはなにか
扇形とは
扇形は「おうぎがた」と読み、あおいで風を送る「扇」に由来しています。扇形は、円の一部を切り出した形といわれています。円の2つの半径に挟まれた角は「中心角」です。実際の扇は180°以上開きませんが、180°を超えた図形も扇型と呼びます。
弧の長さの公式
円周の長さの公式を覚えているでしょうか。
円周＝2πr （r：半径）
円周の長さは半径がわかれば求められます。では、半円の弧の長さはどうすれば求められるでしょうか。半円は円を半分にしたものです。
そのため「円周を半分にすれば良い」と直感でわかる方は多いでしょう。数学的に考えると下図のようになります。
扇形の中心角と弧の長さは「比例関係」にあります。例えば45°の弧の長さを求めるには、上図の180°の部分を45°に代入しなおせば良いのです。
ほとんどの数学の教科書では、中心角を「a」という文字で表します。そのため、扇形の弧の長さは以下の公式で表されます。
計算例
実際に例題を解いてみましょう。問題は以下のとおりです。
例題）半径3cm、中心角45°の弧の長さを求めなさい。
扇形の面積の公式
では、面積についても考えてみましょう。円の面積は以下の公式で求められます。
円の面積＝πr^2 （r：半径）
弧の場合と同様に、半円の面積の求め方を考えてみましょう。半円は円を半分にしたものです。つまり「円の面積の半分」が半円の面積です。数学的に考えると下図のようになります。
中心角と面積にも「比例関係」があります。45°の面積を求めるには180°の部分を45°に代入しなおせば良いのです。よって、扇形の面積は以下の公式で表されます。
計算例
実際に例題を解いてみましょう。問題は以下のとおりです。
例題）半径3[cm]、中心角45°の扇形の面積を求めなさい。
ラジアンとは
ラジアン（rad）とは「弧の長さを半径で割ったもの」です。以下の式で表されます。
ラジアン＝l/r （l：弧の長さ、r：半径）
実際に求めてみましょう。半径2[cm]の円の円周とラジアンは以下のとおりです。
円周＝2πr＝2π×2＝4π[cm]
ラジアン＝l/r＝4π/2＝2π[rad]
では、半径3の円ではどうでしょうか。
円周＝2πr＝2π×3＝6π[cm]
ラジアン＝l/r＝6π/3＝2π[rad]
半径が2[cm]でも3[cm]でも、円の場合はラジアンが2π[rad]になります。半径5[cm]の半円についても考えてみましょう。
弧の長さ＝2πr÷2＝πr＝5π[cm]
ラジアン＝l/r＝5π/5＝π[rad]
半径が7[cm]の半円はどうでしょうか。
弧の長さ＝2πr÷2＝πr＝7π[cm]
ラジアン＝l/r＝7π/7＝π[rad]
半径が5[cm]でも7[cm]でも、半円の場合はラジアンがπ[rad]になるのです。
以上からわかるとおり、ラジアンが表すものは角度です。360°や90°などのように「°」で角度を表記する方法を「度数法」と呼びます。一方で、2π[rad]やπ[rad]などのようにラジアンで角度を表記する方法を「弧度法」と呼びます。
弧度法で面積を求める方法
扇形の面積を求める問題のなかには、中心角が与えられないものがあります。とはいえ、中心角がわからない場合でも、半径と弧の長さがわかれば面積を求められます。公式の導き方は以下のとおりです。
計算例
実際に例題を解いてみましょう。問題は以下のとおりです。
例題）半径2[cm]、弧の長さπ[cm]の扇形の面積を求めなさい。
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中学校数学では、さまざまな公式を覚える必要があります。扇形の面積のように、中心角を与えられるのか、弧の長さを与えられるのかで公式を使い分けなければなりません。
解けない問題を1人で延々と考え続けても勉強は捗りません。勉強の効率を上げるには、わからない部分をそのままにするのではなく、すぐに誰かに教えてもらう必要があります。
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