【高校数学】共役複素数の計算！定義・四則演算・英語表記をご紹介

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高校生科目(単元) 2023.12.05

複素数の問題を解く際に避けられない操作が「共役（きょうやく）」です。共役は分母の有利化などで活躍する操作ですが、計算ミスを引き起こす原因になりやすい計算でもあります。

共役複素数にはさまざまな性質があるため、テスト前にしっかりと押さえておかなければなりません。この記事では、共役複素数の定義や計算方法、英語表記について解説します。

＜この記事で紹介していること＞
・複素数の性質
・共役複素数の性質
・例題

複素数とは

そもそも、複素数とは何でしょうか？複素数とは「実数と虚数を組み合わせたもの」です。一般的には「a+bi」の形で表されます。そのため、以下の式はすべて複素数といえます。

・1+3i
・-5i
・2　※a+biにおいてb=0でも複素数といえる

「虚部の部分だけが複素数だ」と勘違いする方がいらっしゃいます。しかし、複素数には実部も含まれるため、間違えないようにしましょう。

複素数の性質

複素数を使ううえで押さえておきたいポイントが「虚数単位iの性質」です。iは「2乗すると-1になる性質」をもちます。つまり、i×iは-1です。iを使った簡単な計算例は以下の通りです。

・3i×2i=-6
・5i×3=15i
・i×i×i×i=1

2乗すれば-1になることから「i=√-1」と考えることもできます。

複素数の計算例

実際に複素数同士の計算をしてみましょう。

『共役な複素数』の読み方と英語表記

複素数の勉強を進めると「共役複素数」という言葉を目にすることでしょう。読み方は「きょうやくふくそすう」です。英語では「conjugate complex number」と表記します。

教科書の問題文では、共役複素数をcとおくケースがあります。このcは、英語表記の頭文字からとられています。一方、虚数単位はiです。これは虚数単位の英語表記「imaginary unit」の頭文字からとられています。

共役複素数の表記方法

複素数の上に「￣（バー）」をつけると共役複素数になります。例えば複素数zの共役複素数は「zバー」と読みます。バーは多項式につけることも可能です。工学系の教科書ではバーの代わりに「*（アスタリスク）」を使用するケースもあります。

共役複素数の性質

複素数の虚部にマイナスをかけたものを共役複素数と呼びます。a+biの共役複素数はa-biです。実際に数字を代入した複素数の共役を以下に例示します。

複素数は以下のグラフに表せます。複素数の共役をとるとグラフが上下反転します。1回共役をとると上下反転するため、2回共役をとると元の複素数に戻ります。

基本性質

共役複素数の重要な性質として、共役をとってから四則演算した結果と四則演算してから共役をとった結果は等しくなります。また、実数係数は共役の外に出せます。

絶対値

複素数をグラフにすると横軸が実部、縦軸が虚部になります。実部と虚部で方向が違うため、複素数zの絶対値を求める際は以下の式を用います。

|z|=√a^2+b^2

複素数の共役をとるとグラフの形が上下反転しますが長さは変わりません。そのため、共役する前と後で絶対値は変わりません。絶対値に関係する性質は以下のとおりです。