【中学数学】因数分解のやり方とは？公式や計算方法を解説

中学3年生で習う因数分解では、式中に何種類もの文字が登場するため、苦手意識を感じる方がいるかもしれません。

用語や計算方法などの基礎をしっかり押さえておかないと、複雑な問題を解くのが難しくなります。この記事では、因数分解のやり方やよく使う公式についてご紹介します。

＜この記事で紹介していること＞
・因数・因数分解とは
・よく使う公式
・複雑な問題

因数とは

因数（いんすう）は「式や数をかけ算の形に変形した時のそれぞれの要素」を指します。言葉で説明するのは難しいため、上の図を見ながら考えましょう。

例えば「35」という数字を「3×7」と表した場合「3と7は35の因数」と言います。「x^2-x」という文字式は「x(x-1)」と表せるため「xとx-1はx^2-xの因数」と言います。

因数分解とは

因数分解（いんすうぶんかい）は、足し算や引き算が混ざっている式をかけ算の形に変形することを指します。

逆に、かけ算の形で表されている式を足し算や引き算の形に変形することを展開と呼びます。因数分解の一般的な解き方は「共通項を使う方法」と「公式を使う方法」です。

共通項を使った因数分解

共通項とは、複数の項に共通して含まれる文字や数値を指します。例えば「3x-xy」の共通項は「x」です。

項の数が3つ以上の長い式でも共通して含まれる文字や数値があれば、共通項として括（くく）りだすことができます。例えば「ax+ay+az」の共通項は「a」です。

公式を使った因数分解

式に共通項がない場合でも、公式を用いて因数分解できる場合があります。この記事では、因数分解の公式を4つご紹介します。

公式①

x^2+5x+6を例に考えてみましょう。5xを(a+b)x、6をabと見ると(a=2, b=3)または(a=3, b=2)とわかります。

公式②

x^2+10x+25を例に考えてみましょう。10xを2ax、a^2を25と見るとa=5とわかります。

公式③

x^2-10x+25を例に考えてみましょう。10xを2ax、a^2を25と見るとa=5とわかります。

公式④

公式④は「2乗-2乗」の形の式に使えます。x^2-9を例に考えてみましょう。9をa^2と見るとa=3とわかります。

練習問題

以下の問題を解いてみましょう。

問題①

4x^2-49

問題②

x^2+4x+4

問題③

x^2+x-6

解答①

公式④のx^2-a^2を用います。(2x)^2-7^2と考えると(2x+7)(2x-7)と求められます。

解答②

公式②のx^2+2ax+a^2を用います。x^2+2×2×x+2^2と考えると(x+2)^2と求められます。

解答③

公式①のx^2+(a+b)x+abを用います。x^2+(3-2)x+(3)×(-2)と考えると(x+3)(x-2)と求められます。

複雑な因数分解

問題の難易度が上がると、公式をそのまま適用できない場合があります。問題を解きながら確認してみましょう。

問題①

4x^2+12x+8

問題②

tx+kx+t+k

解答①

4x^2+12x+8は、一度共通項の括り出してから、公式を使った因数分解をする必要があります。まずは、共通項として「4」を括り出します。

4(x^2+3x+2)

カッコ『()』内に注目して、公式①を適用すると以下のように求められます。

4(x+1)(x+2)

解答②

tx+kx+t+kは、tx+kxを共通項「x」で括ります。

x(t+k)+t+k

続けて共通項「(t+k)」で括ると、以下のように求められます。

(x+1)(t+k)

数学が苦手な人は『個別指導塾スタンダード』がおすすめ

問題をスラスラ解くには、式から解き方や使う公式を見抜く力が必要です。一度、式変形してからでないと公式を適用できない問題もあります。

解き方が分からない問題を考え続けても勉強はなかなか進みません。学習効率を上げるには、不明な点を誰かに聞ける環境が必要です。

少しでも数学に苦手意識をもっている方には、塾での勉強をおすすめします。

『個別指導塾スタンダード』では、それぞれの生徒さんに合わせたオーダーメードカリキュラムでの指導をおこなっています。

無料体験もできるため、ぜひ下記リンクから最寄りの教室を確認してみてください。

近くの教室をチェックしてみる

因数分解は何度も練習して覚えよう

因数分解では、与えられた式から使用する公式や解き方を見抜く力が必要です。複数回因数分解しなければならない問題もあります。

テストで高得点を取るためにも、何度も練習を重ね、難しい問題に対応できるようにしましょう。

『個別指導塾スタンダード』では高校受験に向けて勉強する方を全力でサポートしています。マンツーマン指導のため、苦手な箇所を効率よく克服できます。

無料の体験授業をおこなっているため、ぜひ下のリンクからチェックしてみてください。
近くの教室をチェックしてみる