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不定積分とは？定積分との違いや基本公式について解説！
高校数学を学んでいる方であれば「不定積分が難しくてよく分からない！」と思うことがあるかもしれません。「定積分との違いが分からない」という方もいるでしょう。不定積分について理解するには、積分の全体像をつかむ必要があります。この記事では、不定積分と定積分の違いや、頻出する公式の使い方について解説します。
＜この記事で紹介していること＞
・不定積分と定積分の違い
・不定積分でよく使用する公式
・不定積分に関する練習問題
不定積分の基礎
不定積分とは「微分するとf(x)になる関数（＝原始関数）を求めること」を指します。言葉だけではなかなか理解しにくいかもしれないため「微分」と比較しながら解説します。積分と対の関係にある存在が「微分」です。下図は微分と積分の関係を示したものです。見て分かるとおり、F(x)を微分するとf(x)を求められ、f(x)を積分するとF(x)を求められます。
不定積分と定積分の違い
積分は主に「定積分」と「不定積分」の2つに分けられます。2つの違いは「面積を求めるか、面積を表す関数を求めるか」です。詳細については、以下で解説します。
不定積分と定積分の違いを理解するためには、積分の使い道を思い出す必要があります。もともと積分は、関数f(x)の「ある領域の面積」を求めるために使われるものです。面積を求めるためには、以下2つの手順を踏む必要があります。
1.面積を表す関数を求める（＝不定積分）
2.求めた関数を使って面積を求める（＝定積分）
手順の1までおこなうことを「不定積分」と言います。手順の1と2をおこない、面積を求めることを「定積分」と言うのです。そのため、定積分で面積を求めるには、一度不定積分しなければなりません。
したがって、不定積分は「面積を表す関数」を求めるもので、定積分は「面積自体」を求めるものなのです。
積分定数Cがつく理由
不定積分の定義は、上図のように決められています。式の後ろについているCは「積分定数」と呼ばれる定数です。初めてこの式を見たとき「なぜCがつくのだろう？」と疑問に思った方がいるかもしれません。理由は、微分と積分の関係にあります。例を挙げて解説します。
「2x+1」を微分する場合について考えてみましょう。「2x+1」を微分すると「2x」の係数である「2」が微分結果として得られます。このとき「2x+1」のうち定数項である「1」の情報は削ぎ落されてしまいます。そのため、微分結果である「2」を積分し、もとの式を得ようとしても、削ぎ落された「1」を復元できません。
積分では、復元できなかった定数を「積分定数C」とおいて、定義式が成り立つように調整しているのです。
不定積分の線形性
積分には、式変形において重要な以下3つの性質があります。
・kが定数のとき、kを積分の外に出せる
・「関数同士の加算してから積分した結果」と「それぞれの関数を積分してから加算した結果」は等しい
・「関数同士の減算してから積分した結果」と「それぞれの関数を積分してから減算した結果」は等しい
積分の方法
多くの方が積分を苦手とする要因は「公式の数」にあります。積分する式の形によって、使う公式を選んだり、組み合わせたりする必要があります。とはいえ、公式と使い方を覚えてしまえば、基本的な問題が解けるようになるでしょう。この記事では、高校数学での使用頻度が高い公式をご紹介します。
べき乗の積分
べき乗の式を積分する際は、上図の公式を使用する必要があります。n=-1の場合だけ、分数部分の分母を0にしないために、別の公式が定義されている点に注意が必要です。実際の式に当てはめると、以下のように計算できます。
指数関数の積分
xが指数部分にある指数関数の積分するには、上図の公式を利用する必要があります。eはネイピア数と呼ばれる定数です。ネイピア数の指数関数は、積分しても積分定数が増えるだけで、比較的覚えやすいでしょう。定数がネイピア数ではない場合は、上図のaを使った公式を利用します。実際の式に当てはめると、以下のように計算できます。
練習問題
不定積分の計算方法を頭に定着させるには反復練習が必要です。実際に手を動かして、以下の3問を解いてみましょう。
解答は以下のとおりです。
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積分は、公式の使い方をしっかり理解しないと、問題の難易度があがるごとに解けなくなっていきます。まずは、基礎を定着させなくてはなりません。複雑な計算が増えていくと、1問を解くのにかかる時間も長くなります。1人で理解できないものを延々と考え続けても、勉強は捗りません。効率良く勉強するには、つまづいたタイミングで誰かに教えてもらう必要があります。
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不定積分の公式パターンを覚えてマスターしよう
不定積分では「面積を表す関数」を求めます。よく定積分と混同してしまう人がいるため、間違えないように注意しましょう。高校数学で習う不定積分の公式はいくつかありますが、一つひとつ丁寧に覚えていく必要があります。公式をしっかりと理解し、反復練習して不定積分に慣れていきましょう。
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