四分位範囲の求め方は？偶数データと奇数データの違いを解説

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高校生科目(単元) 2023.12.05

高校数学を勉強している方であれば「四分位範囲（しぶんいはんい）」という言葉に聞き覚えがあるかもしれません。データ数が奇数か偶数かで解き方が異なるため、ミスする方が多い統計学の分野です。大学入試に出る可能性もあるため、ポイントを押さえてマスターしましょう。

＜この記事で紹介していること＞
・四分位範囲の求め方
・四分位範囲を求める意味
・四分位偏差の求め方

四分位範囲の求め方

四分位範囲（しぶんいはんい）を求める際は、中央値を利用します。中央値の求め方は上図を参考にしましょう。また、四分位範囲は、データの数が奇数か偶数かで異なります。また、解釈によって解き方が異なる場合があるため、注意が必要です。この記事では、高校数学でよく紹介される方法を解説します。

奇数データと偶数データ

四分位範囲では、データ全体を4つに分割した境目を小さい順にQ1・Q2・Q3と呼びます。Q1～Q3は以下のように呼ばれる場合があります。

Q1：第一四分位数（25パーセンタイル）
Q2：第二四分位数（50パーセンタイル）
Q3：第三四分位数（75パーセンタイル）

データ数が奇数個の場合は、データ全体の中央値がQ2になります。Q1はQ2より小さいデータ群の中央値、Q3はQ2より大きいデータ群の中央値です。
データ数が偶数個の場合も、データ全体の中央値をQ2とします。Q1は2分割した小さいほうのデータ群の中央値、Q3は2分割した大きいほうのデータ群の中央値です。四分位範囲は「Q3-Q1」で求められます。

具体例

具体例で四分位範囲を確認してみましょう。

データ数が奇数個の場合、Q2は全体の中央値「9」に決まります。
Q1は「1・3・5・7」の中央値になるため「(3+5)/2=4」で求められます。
Q3は「11・13・15・17」の中央値になるため「(13+15)/2=14」で求められるでしょう。
よって四分位範囲は「14-4=10」と求められます。

データ数が偶数個の場合、Q2は全体の中央値になるため、(9+11)/2=10で求められます。
Q1は「1・3・5・7・9」の中央値の「5」です。
Q3は「11・13・15・17・19」の中央値の「15」です。
よって四分位範囲は「15-5=10」と求められます。

四分位範囲を求める意味とは

ここまでで四分位範囲の「求め方」について解説しましたが、そもそも数学的にどのような「意味」をもつのでしょうか。四分位範囲は「データの中心付近がどのくらい散らばっているか」の目安として用いられます。
データが中心付近に集まると四分位範囲は小さくなります。逆に、中心付近のデータが少ない場合は四分位範囲が大きくなるのです。

箱ひげ図は四分位範囲を可視化したもの

箱ひげ図（はこひげず）は、データのばらつきを視覚的に表現するための統計図です。箱ひげ図を用いれば、直感的に四分位範囲の大きさを把握できます。
箱ひげ図の中央にある長方形が大きいとデータにばらつきがあることがわかります。逆に、長方形が小さいと、データが中央に集中していることがわかるでしょう。

四分位偏差の求め方

四分位偏差は、四分位範囲と同様に「データの中心付近がどのくらい散らばっているか」の目安として用いられ、「四分位偏差＝四分位範囲/2」で求められます。四分位偏差はQ2と比べる際などに用いられるケースがほとんどです。
試験に出題される可能性があるため、しっかり押さえておきましょう。

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